コサイン類似度についてまとめてみる

はじめに

今回はコサイン類似度とは一体なんなのかについてみていきたいと思います。

いつもと少しテイストが違って数学チックですがお付き合いください。

早速みていきましょう。

はじめに
なにに使えるか
内積について
コサイン類似度
さいごに
参考

なにに使えるか

まず定義をみるよりも先に、これが何に使えるかをみた方がモチベーションもアップすると思い先に書いてしまいます。

コサイン類似度はベクトル間の向きの近さを示す指標として良く使われ、AIの世界でもベクトル同士がどの程度近くにあるのか調べたいことが多々あるので用いられています。

ただ内容的には高校数学なのでとても簡単です。

内積について

まずは2次元ベクトル $\boldsymbol{a}$ ， $\boldsymbol{b}$ の内積は以下の式で定義されています。

$\boldsymbol{a}・\boldsymbol{b}=| \boldsymbol{a}|| \boldsymbol{b}|cosθ$

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言葉にして表すと「ベクトル $\boldsymbol{a}$ の長さと、ベクトル $\boldsymbol{b}$ のベクトル $\boldsymbol{a}$ と同じ向きの成分の長さをかけたもの」です。

これのどこがベクトル間の向きの近さを示すかというと、θと内積の関係が以下のようになっています。

θの値	ベクトル $\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b}$ の関係	内積の値
0°	向きが完全に一致	最大値
90°	直行している	0
180°	逆向き	最小値

2つの２次元ベクトルを以下の成分で表し、式変形をするとこんな形にすることができます。
$\boldsymbol{a}=(a_1, a_2)$
$\boldsymbol{b}=(b_1, b_2)$

$cosθ=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$